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변수분리형 미분방정식 예제

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따라서 이 메서드가 부분 미분 방정식을 두 개의 일반 미분 방정식으로 줄이는 방법을 알아보려면 몇 가지 예제를 살펴보겠습니다. 따라서 주어진 부분 미분 방정식에 변수 분리를 적용한 후 (Gleft(tright))에 대해 해결해야 할 1차 미분 방정식과 (varphi left) 동안 해결해야 할 2차 경계 값 문제에 도달합니다. x 오른쪽)). 그러나이 섹션의 요점은이 시점에 도착하는 것입니다 그리고 우리는 다음 섹션까지 이러한 문제를 해결 보류합니다. 그리고 우리가 해결해야 할 두 가지 일반 미분 방정식은 미분 방정식의 모든 (y)를 분리할 수 있도록 미분 방정식에 미분 및 미분 방정식의 모든 (x)를 곱해야 한다는 점에 유의하십시오. 기호의 반대편에 있어야 합니다. 이는 지름 2의 원이며, 원점에서 y축에 접선; 그림 을 참조하십시오. 주: 분리 단계(†)에서 양측은 r(여기서 종속 변수)으로 분할되었습니다. 그러나 r = 0이 미분 방정식을 공식적으로 만족하더라도 초기 조건 r(π) = 2를 명확하게 충족시키지 못합니다. 좋아, 과정을 진행해 봅시다. 다음 단계는 위의 방정식을 다음 두 개의 일반 미분 방정식으로 분할할 수 있음을 인정하는 것입니다.

이제 다시 이 부분 미분 방정식을 수행했기 때문에 제곱근을 가져 가기 전에 C가 추가되었기 때문에 y = √ (2x) + C와 동일하지 않습니다. 이것은 미분 방정식으로 많이 발생합니다. 프로세스의 끝에 C를 추가할 수 없습니다. 통합을 수행할 때 추가됩니다. 이제 열 방정식과 마찬가지로 두 가지 초기 조건은 문제를 위해 여기에 있어야하기 때문에 여기에 있습니다. 우리는 실제로 여기에 그들과 함께 아무것도하지 않을 것이며, 이전에 언급 한 바와 같이 제품 솔루션은 거의 그들을 만족하지 않습니다. 우리는 실제로이 첫 번째 단계를 지나갈 때 이후 섹션에서 이들을 다룰 것입니다. 다시 말하지만, 이 예제의 요점은 변수의 분리가 제공하는 두 가지 일반 미분 방정식으로 내려가는 것입니다.

이 미분 방정식을 해결하기 위해 먼저 (x)에 대해 양측을 통합하여 얻을 수 있으며, 위에 나열된 다른 두 간격 중 하나가 미분 방정식에 대한 모든 솔루션에 대한 유효 기간일 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 적절한 초기 조건으로 이 중 하나가 유효성 의 간격이 될 수 있습니다. 일부 미분 방정식은 변수 분리 방법(또는 “변수 분리 가능”)으로 해결할 수 있습니다. 이 방법은 우리가 형태로 미분 방정식을 쓸 수있는 경우에만 가능하다 우리가 Laplace의 방정식에서 얻을 두 개의 일반 미분 방정식은 다음, RL 회로에서, Kirchhoff의 법칙을 사용하여 형성 된 미분 방정식은 분리의 양측 경우입니다 미분 방정식은 분리 프로세스 중에 일부 함수 f(y)(즉, 종속 변수의 함수)로 분할된 다음 유효한 솔루션이 손실될 수 있습니다. 마지막 단계로 상수 함수 y = y 0 [여기서 f(y 0) = 0]이 실제로 주어진 미분 방정식의 솔루션인지 확인해야 합니다.